Язык математики

Смогут ли математические символы обходиться без слов, поддерживающих их?

В настоящее время много удивительного можно услышать на математических семинарах. Предлагаем вам совершить интересную виртуальную экскурсию в мир цифр и символов.

Вас удивят слова и фразы, которые, по нашему восприятию, так далеки от математических определений: паук, птица, амеба, песочница. Рисунок, напоминающий каллиграфию древнего Китая, трактует цифры и символы алгебры. Согласитесь, такой язык математики стимулирует мысли человека и поощряет его любознательность. Временами он может разбудить фантазию общественного воображения. Порой мешает восприятию.

На сегодняшний день при расширении границ математических исследований его развитие явно ускоряется. Многие верят, что язык математики помог сделать этот предмет по-настоящему интересным и увлекательным. Однако по этому поводу возникает немало противоречивых суждений.

Существует ли вообще математический язык?

На эти непростые вопросы можно узнать ответ у Джозайя Уиллард Гиббса, который знаком с огромным количеством математических символов. Гиббс является одним из основателей статистической механики. Среди своих коллег этот ученый отличался простотой и скромностью, которая мешала ему выступать на публике. Можете представить себе их изумление, когда на одном из собраний Гиббс во всеуслышание произнес удивительную фразу: «Господа, математика – это язык».

История знает, что Гиббса в этом открытии опередил на два столетия знаменитый Галилей. В середине 16 века итальянским астрономом были сказаны следующие слова: «Человек не имеет возможность познать Вселенную, пока он не изучил язык математики».

Математические буквы астроном представлял в виде треугольника, круга и других геометрических фигур. Гиббс лишь добавил несколько современных символов в этот язык. Математический язык уникален и он вне зависимости от привычных для нас языков. Если существует математический язык, значит, человек должен воспринимать математику без применения каких-либо слов. Посмотрим, так ли это.

Для наглядного примера решим задачу: сложим первые несколько целых чисел. Допустим, 1, 2, 3, 4, 5. Известно, что их сумма равна 15. Каким образом она была найдена? Как же сложить первых 100 целых чисел?

На рисунке отображены 1 + 2 + 3 + 4 + 5 точек дважды в черном и красном цвете. Прямоугольный способ позволяет легко найти искомый ответ: 5 × 6 = 30. Для нахождения искомой суммы нужно этот результат разделить на 2.

Математическая идея понятна. Кроме этого, 5 столбцов точек не имеют ничего особенного. Можно легко представить себе число 100.

1 + 2 +. , , + 100 должен быть равен 100 × 101. Результат делим на 2 и получаем число 5 050. Отсюда выводим формулу нахождения суммы первых N целых чисел: N (N + 1) / 2. В этом, пожалуй, и заключается математическое доказательство без слов.

В 1975 году «Математический журнал» опубликовал материал, посвященный Математической ассоциации США. Его примеры оставляют читателей безмолвными. Несмотря на существование доказательства без слов, слова сами приходят к человеку, когда он просматривает изображение. И, наоборот, изображение приходит на ум, если человек слышит слова. Напрашивается определенный вывод: слово в математике имеет огромное значение. О роли, которой наделены слова в математической науке впервые заговорил французский математик Жак Адамар. В начале второй мировой войны он поинтересовался у коллег что они думают о своем предмете? После получения ответов Жак Адамар опубликовал соответствующие выводы.

Одним из читателей его публикации был знаменитый Альберт Эйнштейн. Этот великий ученый сказал следующее:

«Слова, которые произносятся, не влияют на механизм мышления. Психическая сущность, которая является элементом мысли, представляет определенный признак и четкий образ, который можно воспроизвести и объединить».

Вне зависимости от того, есть ли у математики язык, ее слова делят с обычным языком существенные функции: они являются переносчиками важных образов от одного разума к другому. Наверное, по этой причине выбор слов в математике непременно важен.

Многозначность

В середине двадцатого столетия американский математик Клод Шеннон разрабатывал теорию коммуникации в Bell Telephone Laboratories. Для измерений средних неопределенностей в источнике информации он применил некое алгебраическое выражение. Математик Джон фон Нейман заметил поразительную схожесть нового алгебраического выражения с определением энтропии в теоретической механике. Клод Шеннон с юмором рассказывает свою историю.

«Главной заботой для меня в то время было придумать название новому алгебраическому выражению. Я хотел дать ему название «информация», но это слово было частым в использовании, поэтому я назвал его «неопределенность». Мы обсудили мою задумку с Джоном фон Нейманом, и у него возникла следующая идея по этому поводу. Математик предложил мне назвать мое алгебраическое выражение «энтропией». Для этого были две веские причины. Во-первых, функция неопределенности используется в теоретической механике под этим именем, значит, она имеет уже свое название. Во-вторых, а это крайне существенно, никому не известно понятие «энтропия», поэтому в дебатах вы будете с преимуществом

Эта шутка лишний раз подтверждает, какую значимость имеет язык математики.

У многих ученых вызывают беспокойство названия, которые они придумывают. Кстати сказать, Клод Шеннон попал, как говорят, в десятку со своим выбором определения. Это можно объяснить тем, что математика заимствует много слов из других наук, в частности из физики. Джон фон Нейман оказался правым, когда посоветовал Клоду использовать физический термин. Слово «энтропия» принесло ему некое преимущество, так как явилось виновником проницательных дебатов на тему: имеет ли этот термин существенную связь со статикой в механике или нет? Дебаты принесли весьма позитивный результат. В настоящее время «энтропию» немецкого физика Рудольфа Клаузиуса многие ученые рассматривают как идею Клода Шеннона.

Что вкладывается в смысл математического названия?

Вспомните фильм Льюиса Кэрролла «В зазеркалье», главная героиня которого однажды спросила Шалтай-Болтая:

«Действительно ли существует некий смысл в названиях?».

«Конечно!» – ответил он Алисе.

Математик Джеймс Йорк, который работает в Университете штата Мэриленд, дал бы Алисе аналогичный ответ.

«Любой термин должен что-то означать» – настаивает он.

Им придуман термин неопределенности под названием «хаос».

Известно, что математические названия нужны исследователям для использования. Термин «хаос» стал явным исключением из правил. Он завладел общественным воображением.

Математик хочет уловить чувства людей, которые они вкладывают в понятие «случайность».

В середине семидесятых годов прошлого столетия Джеймсу Йорку вместе с соавтором математиком Тиен-Йен Ли удалось доказать уникальную теорему о непрерывной функции на интервале. Ими была опубликована короткая статья под названием «Период три – это хаос», в которой математики изложили доказательство теоремы.

Что подтвердила данная теорема? Давайте рассмотрим такую функцию как машина ЭВМ: вставим число «a» из интервала и получим число «b». Если мы возьмем «b», то получим третье число «c». Теперь вставим «c» и получим значение «d». Число «d» равно числу «а», значит, число «a» имеет период три. Подобным образом число может иметь любой номер периода. Математиками доказано: непрерывность заключается в том, что если число имеет период три, то можно отыскать числа любого периода.

Джеймс Йорк и Тиен-Йен Ли подтвердили: огромное количество цифр обладают последовательными результатами. Самое удивительное заключается в том, что пара непериодических чисел может быть найдена близко друг к другу, однако эти числа имеют последовательный выход, который отодвигает их друг от друга. В данном случае математики говорят о возникновении хаотичной ситуации. Если бы статья Йорка и Ли была опубликована в другом журнале, к примеру, рассматривающим вопросы динамической системы, тогда такое понятие как «хаос» не будоражило бы воображение читателей.

Мало кому известно, что в термин «хаос» уже вложили другой смысл. Один из создателей кибернетики Норберт Винер придумал название «Однородный хаос».

 

Сколько времени нужно математическому названию для полного захвата общественного воображения?

Стоит начать с идей математика Эдварда Лоренца. Кроме математики, этот ученый успешно занимался метеорологией. В начале 60-х годов прошлого века Эдвард отметил, что продолжительные периоды времени разработанная им модель погодных условий при незначительных изменениях начальных условий вела себя неодинаково. Подобные явления не были чем-то новым для исследователей. Математик из Франции Анри Пуанкаре поведал об этом еще в начале 20-го века.

Однако вернемся к Лоренцу. Однажды он высказал предположение о том, что настоящие штормовые условия вызвала бабочка, взмахивающая крыльями в Бразилии. Термин «эффект бабочки» был придуман ученым для укрепления метафоры.

Данный математический термин искушает воображение людей. Этому помогает мощное изображение. Пучок кривых, называемый «аттрактором Лоренца», предлагает бесконечное число решений системы трех дифференциальных уравнений. Это изображение напоминает два крыла бабочки. Попробуйте начать в любой точке одной из кривых решения, следуя по окружности, и вы последовательно посетите два крыла этого узора. Если начнете с близлежащей точки на другой кривой, то через время картина резко изменится. «Аттрактор Лоренца» – это эмблема теории хаоса.

Выбор правильных терминов

Известно, что неумело подобранные слова и выражения мешают развиваться математической науке.

Об этом не раз утверждал великий французский математик Рене Декарт. Решая алгебраические уравнения, ученый рассматривал возможности того, что ряд чисел при их умножении будут давать отрицательный результат. Великий математик доказал, что «истинные или ложные корни бывают реальные или мнимые». «Мнимое число»… Великий математик Карл Фридрих Гаусс относился к нему с явным презрением. В 1831 году Гаусс написал следующее: «Если математика была окутана тайнами и окружена тьмой, то в этом вина неподходящей терминологии».

В 1670 году знаменитым английским физиком Исааком Ньютоном в научный обиход внесены новые слова: «фьюжн» и «флюксия». Они предназначались для того, чтобы описать скорость движения жидкости. Эти слова были слишком тяжелы для понимания. Много лет ученые в области математики старались найти объяснения этим словам. Лишь на рубеже 18 века они нашли более действенные определения, перестав применять ф-слова Ньютона. Известно, что английские ученые XIX века часто изобретали слова и фразы для математических определений. К слову сказать, много новых терминов, придуманных ими, не используются в современной математике. По поводу возникновения математических названий существует интересная история.

В начале 18 столетия профессор Кембриджа Джон Колсон опубликовал книгу «Основы анализа использования», которая широко использовалась кафедрой математики. Это учебное пособие было написано Марией Агнеси в 1748 году. К сожалению, Колсон не владел итальянским языком, а книга была написана автором на ее родном языке.

В своем учебнике Мария Агнеси дает описание конкретной кривой, назвав ее «лайтером» (адаптация от латинского слова versoria, что значит «веревка»). Когда эту книгу перевели на английский язык, Кембриджский математик Джон Колсон опубликовал ее. Самое интересное заключается в том, что в слово «versoria» вложен был совершенно другой смысл – «ведьма». Неправильное название кривой укоренилось. Теперь эту кривую даже в современном учебнике величают «Ведьмой Агнеси». Эта история наглядно показывает как важно выбирать потенциальные математические термины, чтобы избежать аналогичных казусов.

Пожалуй, самым известным ученым, который активно участвовал в развитии языка математики, был британский профессор Джеймс Джозеф Сильвестр. Получив должность в Университете Джона Хопкинса в Балтиморе, он трудился над созданием американского математического журнала. Помимо математики, Джеймс серьезно увлекался поэзией. Наверное, это помогло ему дать название многим математическим терминам. В своей статье «О теории сизиецких отношений двух рациональных интегральных функций», которая была опубликована в 1853 году, он рассказал о новых необычных математических терминах. Много слов Джеймса Джозефа Сильвестра уже не используются в математике, однако некоторыми из них мы пользуемся до сих пор.

Изучая азы высшей математики, каждый студент сталкивался с математическим названием – «матрица». А знаете ли вы что оно означает? В переводе с латинского языка это «матка». Сильвестра очень интересовала квадратная матрица, у которой равное число строк и столбцов. Так как прямоугольная матрица при удалении ненужных строк и столбцов порождает квадратную матрицу, то это название оказалось наиболее подходящим. Понятие «матрица» существует в математической науке уже несколько столетий. Оно стоит на одной ступеньке по популярности со словом «хаос». Наверняка, Джеймса Сильвестра обрадовал бы тот факт, что именем его творения назван голливудский научно-фантастический фильм. Кроме этого, современный спортивный автомобиль тоже носит имя «Матрица».

История математических символов

Давайте вместе с Вами сделаем небольшой экскурс в историю математических символов. Ученые давно признали тот факт, что символы удалены от слов, стоящих рядом. Эта концепция была признана немецким филологом и историком 19 столетия Генрихом Нессельманом. У эволюции символов три этапа: риторический, синкопированный, символический. Именно теория Нессельмана подарила человечеству скромненький знак «минус», которым мы пользуемся при вычитании. Ученые средневековой Европы записывали его как «minus» (латинский), «moins» (французский), «meno» (итальянский). Затем это слово сократили до «m-». Символ «-» стали применять с 1489 года.

Вне зависимости от происхождения, символ всегда был окутан тайной, потому что он имеет большую силу, нежели просто математическое слово. Этого мнения придерживались многие ученые, в том числе Геттфрид Вильгельм Лейбниц. Великий математик был в восторге от символов. Он всерьез думал о символическом языке. Лейбницу не удалось найти универсальный язык, однако к другим математикам пришел успех в поиске идеографического языка, который имел специализированные функции. К примеру, немецкий математик и философ Готлот Фреге считал, что отыскал уникальный метод общения с помощью символов. В 1879 году была опубликована его книга, которая и в настоящее время считается важнейшим логическим творением. Многие ученые того времени, такие как Джон Венн и Эрнст Шредер, критиковали Фреге. Они говорили, о том, что такой язык весьма громоздкий и неудобный и называли его «чудовищной тратой пространства», так как он пишется вертикально.

Фреге долго сопротивлялся подобной критике. Работа, связанная с набором символов, которая в те времена мешала математикам, в настоящее время осуществляется совершенно иным способом – с помощью эффективного программного обеспечения. Оно разрешает автору создавать готовый к выпуску канон для журнала или периодического издания. Во времена Готлота Фреге математическое сообщество необоснованно затормозило принятие «графических аргументов».

Из истории известно, что картина сопровождала математическое доказательство. Однако картина порой вводит людей в заблуждение, допустив, что специальные случаи, которые она иллюстрирует, являются общими для их аргументов. Математики 19 столетия подвергли сомнениям пространственную интуицию человека и доказательства, опирающиеся на нее. Ярким примером этому служит кривая «Giusseppe Peano». Представьте себе непрерывную кривую, которая расположена внутри квадрата. Она не должна пропускать ни одной точки. «Peano» удалось построить такую кривую с помощью использования бесконечного рекурсивного процесса. Никакая картина не сможет досконально описать этот процесс. Математики еще долго с опасением принимали картины вместо слов. С этим явлением пришлось соприкоснуться Предрагу Цвитанович из Технологического института штата Джорджии. Он помнит некую иронию своего сотрудника, который, глядя на пиктограмму, произнес:

«Что это за птицеводы?»

Cвитановичу приглянулся такой орнитологический термин и он присвоил своей новой записи это имя. Так что же это такое – «птицевод»? Это некая комбинация, представляющая точки, линии, стрелки и другие символы, буквы диаграммного языка для алгебры.

В 1984 году Цитанович опубликовал книгу, в которой дал объяснение теории групп. Его диаграммы играют огромную роль в эволюции языка. «Отличие от диаграммы Фейнмана состоит в том, что здесь весь расчет выполнены с точки зрения «птицепотока». Можно ли сделать вычисления без них? Разумеется, да!

Однако Цивитавич хочет предупредить своих читателей:

«Это как говорить по-итальянски, не используя рук».

Самый изобретательный и влиятельный тополог современности Луис Х. Кауфман, в своей работе применяет много новых диаграммных языков. Алгебраисты смогут узнать много полезного, прочитав его книгу «Формальная теория узлов». Плоские алгебры являются важнейшим языком изображения. Они были представлены в 1999 году. Их главная цель состоит в обеспечении общей настройки важных величин для изучения различных узлов. Основным изображением языка является плоский клубок-диск с меньшими внутренними дисками, которые связаны с сегментом линий. Свойства, присущие им, отображают ряд свойств различных алгебраических и топологических структур, знакомых ученым. Поэтому линейные алгебры имеют большую область применений.

«Птичьи следы», как и линейные алгебры, заимствуют свое вдохновение у физики. Их клоном является хранилищем онлайн-предисловий для проведения научных исследований, которые используют ученые нашей планеты. Мировое сообщество познакомилось с ним в 2016 году. Язык клона создали математики Гарвардского университета Чжэнвэй Лю, Алекс Возняковский и Артур М. Яффе. Упрошенная версия этого языка имеет много совпадений с языками, которые были созданы Cвитанович и Кауфманом.

Изобретатели клонского языка утверждают, что у их детища огромные возможности. Он поможет изучить квантовую информацию. Этот язык применим для алгебры и топологии. В своем интервью гарвардскому изданию «Harvard Gazette» Артур М. Яффе сказал следующее: «Наш математический язык способен дать человеку идеи и иной способ мышления, который он не видит в алгебраическом способе приближения к математике».

В настоящее время на семинарских занятиях по математике поистине совершается нечто необычное. Современные ученые в области математики хотят преодолеть барьер традиционных языков. Странность их слов и образов вызывает неподдельный интерес у членов нашего сообщества. Людям хочется как можно больше узнать о них.

Подводя итог этот статьи, хочется отметить, что математика имеет много языков, с помощью которых ее можно выразить. Прежде всего, она требует последовательности изучения. Мы познакомили вас с историей возникновения математических названий, символов и изобразительного языка. Именно в них ученые видят будущий эволюционный процесс математики.

БИБЛИОГРАФИЯ:

Cvitanović, P. 2008. Group Theory: Birdtracks, Lie’s, and Exceptional Groups. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Feynman, R. 1965. The Character of Physical Law. London: Cox and Wyman.

Gleick, J. 1987. Chaos: Making a New Science. New York: Penguin.

Hadamard, J. 1945. The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Jones, V. F. R. 1999. Planar algebras, I. arXiv:math/9909027v1.

Kauffman, L. H. 1991. Knots and Physics. Singapore: World Scientific.

Langer, S. K. 1942. Philosophy in a New Key. Cambridge, MA: Harvard University Press.

Li, T-Y. L., and J. A. Yorke. 1975. Period three implies chaos. American Mathematical Monthly82:985–992.

Liu, Z., A. Wozniakowski, and A. M. Jaffe. 2017. Quon 3D language for quantum information. Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A. 114:2447–2502.

Sylvester, J. J. 1853. On a theory of the syzygetic relations of two rational integral functions. Philosophical Transactions of the Royal Society of London 143:407–548.

Кажется, Вам понравился этот материал, раз Вы его дочитали до конца. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями об этом?

Comment

This post doesn't have any comment. Be the first one!

hide comments
Share
...
Back

Your cart

0

Корзина пуста.

Total
0.00$
Checkout
Empty

This is a unique website which will require a more modern browser to work!

Please upgrade today!